Упр.23.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin^2 x-\frac{12-\sqrt{2}}{2}\sin x-3\sqrt{2}=0$$;
   б) $$\cos^2 x-\frac{8-\sqrt{3}}{2}\cos x-2\sqrt{3}=0$$.

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда уравнение

$$\tg^3 x+\tg^2 x-3\tg x=3$$

примет вид

$$y^3+y^2-3y-3=0.$$

Разложим на множители:

$$y^2(y+1)-3(y+1)=0,$$

$$(y+1)(y^2-3)=0.$$

Отсюда

$$y=-1 \quad \text{или} \quad y=\pm\sqrt{3}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

1) $$\tg x=-1,$$ значит

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg x=\sqrt{3},$$ значит

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\tg x=-\sqrt{3},$$ значит

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$