Упр.23.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
а) $$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$;
б) $$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$;
в) $$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$;
г) $$7\ctg^2\frac{x}{2}+2\ctg\frac{x}{2}=5$$.
Положим $$y=\tg x.$$ Тогда уравнение
$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$
примет вид
$$3y^2+2y-1=0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}.$$
Получаем:
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac13.$$
Тогда
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$\tg x=\frac13 \Rightarrow x=\arctg\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Положим $$y=\ctg 2x.$$ Тогда
$$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$
переходит в
$$y^2-6y+5=0.$$
Находим корни:
$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$
Следовательно,
$$y_1=1,\qquad y_2=5.$$
Тогда
$$\ctg 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z,$$
$$\ctg 2x=5 \Rightarrow 2x=\arcctg 5+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
Положим $$y=\tg x.$$ Тогда
$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$
переходит в
$$2y^2+3y-2=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2\cdot 2}.$$
Получаем:
$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12.$$
Значит,
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Положим $$y=\ctg \frac{x}{2}.$$ Тогда
$$7\ctg^2 \frac{x}{2}+2\ctg \frac{x}{2}=5$$
переходит в
$$7y^2+2y-5=0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-5)=4+140=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2\cdot 7}.$$
Получаем:
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac57.$$
Тогда
$$\ctg \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$\ctg \frac{x}{2}=\frac57 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arcctg \frac57+\pi n \Rightarrow x=2\arcctg \frac57+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\; x=\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arcctg \frac57+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
