Упр.23.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$|\sin x|(\cos x+2\sin x)=2-2\cos^2 x$$;
   б) $$|\cos x|(2\cos x-3\sin x)=2$$.

а) Рассмотрим случаи.

1. $$\sin x=0.$$ Тогда $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x$$ и

   $$\sin x(\cos x+2\sin x)=2-2\cos^2 x.$$

   Так как $$2-2\cos^2 x=2\sin^2 x,$$ получаем

   $$\sin x\cos x+2\sin^2 x=2\sin^2 x,$$

   $$\sin x\cos x=0,$$

   откуда $$\cos x=0.$$ Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3. Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x$$ и

   $$-\sin x(\cos x+2\sin x)=2-2\cos^2 x.$$

   После преобразований получаем

   $$-\sin x\cos x-2\sin^2 x=2\sin^2 x,$$

   $$4\sin^2 x+\sin x\cos x=0.$$

   Делим на $$\sin^2 x$$:

   $$4+\ctg x=0,$$

   $$\ctg x=-4,$$

   $$\tg x=-\frac14.$$

   Значит,

   $$x=-\arctg\frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\arctg\frac14+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим случаи.

1. Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x$$ и

   $$\cos x(2\cos x-3\sin x)=2.$$

   Тогда

   $$2\cos^2 x-3\sin x\cos x=2\cos^2 x+2\sin^2 x,$$

   $$2\sin^2 x+3\sin x\cos x=0.$$

   Делим на $$\sin^2 x$$:

   $$2+3\ctg x=0,$$

   $$\ctg x=-\frac23,$$

   $$\tg x=-\frac32.$$

   Следовательно,

   $$x=-\arctg\frac32+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. Если $$\cos x=0,$$ то $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$ Подстановка даёт

   $$|\cos x|(2\cos x-3\sin x)=0\ne 2,$$

   поэтому решений нет.

3. Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

   $$-\cos x(2\cos x-3\sin x)=2.$$

   После преобразований получаем

   $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=0.$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg^2 x-3\tg x+4=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0.$$

   Значит, действительных решений нет.

Итак,

$$x=-\arctg\frac32+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=-\arctg\frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\arctg\frac32+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$