Упр.23.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$4\sin^2 x-2(\sqrt{3}-1)\sin x-\sqrt{3}<0$$;

б) $$4\cos^2 x-2(\sqrt{3}+1)\cos x+\sqrt{3}>0$$.

Положим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное неравенство

$$4y^2-2(\sqrt3-1)y-\sqrt3<0.$$

Найдём корни:

$$D=4(\sqrt3-1)^2+16\sqrt3=4(\sqrt3+1)^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2(\sqrt3-1)\pm 2(\sqrt3+1)}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-\frac12<y<\frac{\sqrt3}{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем систему неравенств:

$$\sin x>-\frac12,\qquad \sin x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

Решаем их по отдельности:

$$\sin x>-\frac12 \;\Longrightarrow\; -\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

$$\sin x<\frac{\sqrt3}{2} \;\Longrightarrow\; -\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n \;\; \text{или} \;\; \frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Пересечение этих множеств даёт:

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Теперь рассмотрим второе неравенство. Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$4y^2-2(\sqrt3+1)y+\sqrt3>0.$$

Найдём корни:

$$D=4(\sqrt3+1)^2-16\sqrt3=4(\sqrt3-1)^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2(\sqrt3+1)\pm 2(\sqrt3-1)}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\cos x<\frac12 \;\; \text{или} \;\; \cos x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad \frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z;$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad -\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$