Упр.23.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$; б) $$8\sin^2 2x+\cos 2x+1=0$$; в) $$5\cos^2 x+6\sin x-6=0$$; г) $$4\sin 3x+\cos^2 3x=4$$.
а) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$
Пусть $$y=\cos x$$, тогда
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$
Значение $$y_2=2$$ не подходит, так как $$\cos x\neq 2$$. Поэтому
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$8\sin^2 2x+\cos 2x+1=0$$
$$8(1-\cos^2 2x)+\cos 2x+1=0$$
$$8\cos^2 2x-\cos 2x-9=0$$
Пусть $$y=\cos 2x$$, тогда
$$8y^2-y-9=0$$
$$D=1+288=289$$
$$y_1=\frac{1-17}{16}=-1,\qquad y_2=\frac{1+17}{16}=\frac98$$
Значение $$y_2=\frac98$$ не подходит, так как $$\cos 2x\neq \frac98$$. Поэтому
$$\cos 2x=-1$$
$$2x=\pi+2\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$5\cos^2 x+6\sin x-6=0$$
$$5(1-\sin^2 x)+6\sin x-6=0$$
$$5\sin^2 x-6\sin x+1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$, тогда
$$5y^2-6y+1=0$$
$$D=36-20=16$$
$$y_1=\frac{6-4}{10}=\frac15,\qquad y_2=\frac{6+4}{10}=1$$
1) Если $$\sin x=\frac15$$, то
$$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) Если $$\sin x=1$$, то
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$4\sin 3x+\cos^2 3x=4$$
$$4\sin 3x+1-\sin^2 3x=4$$
$$\sin^2 3x-4\sin 3x+3=0$$
Пусть $$y=\sin 3x$$, тогда
$$y^2-4y+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$y_1=1,\qquad y_2=3$$
Значение $$y_2=3$$ не подходит, так как $$\sin 3x\neq 3$$. Поэтому
$$\sin 3x=1$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ: а) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
