Упр.23.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: а) $$\sqrt{5-2\sin x}=6\sin x-1$$; б) $$\sqrt{2+4\cos x}=3\cos x+0{,}5$$.

a) Обозначим $$y=\sin x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{5-2y}=6y-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$5-2y=36y^2-12y+1,$$

$$36y^2-10y-4=0,$$

$$18y^2-5y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 18\cdot(-2)=25+144=169,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 13}{36}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{2}{9}, \qquad y_2=\frac{1}{2}.$$

Проверим область допустимых значений. Так как $$\sqrt{5-2\sin x}\ge 0,$$ то правая часть тоже должна быть неотрицательной:

$$6\sin x-1\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x\ge \frac16.$$

Значение $$\sin x=-\frac29$$ не подходит, а $$\sin x=\frac12$$ подходит.

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

b) Обозначим $$y=\cos x.$$ Тогда

$$\sqrt{2+4y}=3y+\frac12.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2+4y=9y^2+3y+\frac14,$$

$$9y^2-y-\frac74=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$36y^2-4y-7=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 36\cdot(-7)=16+1008=1024,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 32}{72}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{7}{18}, \qquad y_2=\frac12.$$

Проверим условие существования корня и неотрицательность правой части:

$$2+4\cos x\ge 0 \Rightarrow \cos x\ge -\frac12,$$

$$3\cos x+\frac12\ge 0 \Rightarrow \cos x\ge -\frac16.$$

Значение $$\cos x=-\frac{7}{18}$$ не подходит, а $$\cos x=\frac12$$ подходит.

Тогда

$$x=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: a) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ b) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$