Упр.23.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\cos^5 x+\sin^4 x=1$$;

б) $$\cos^8 x+\sin^3 x=1$$.

а) $$\cos^5 x+\sin^4 x=1.$$

Так как $$0\le \sin^4 x\le 1,$$ то

$$\cos^5 x=1-\sin^4 x\ge 0,$$

значит, $$\cos x\ge 0.$$ Кроме того,

$$\cos^5 x\le \cos^2 x,\qquad \sin^4 x\le \sin^2 x.$$

Сложим эти неравенства:

$$\cos^5 x+\sin^4 x\le \cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

Но по условию $$\cos^5 x+\sin^4 x=1,$$ значит, должны выполняться равенства

$$\cos^5 x=\cos^2 x,\qquad \sin^4 x=\sin^2 x.$$

Отсюда

$$\cos^2 x(\cos^3 x-1)=0 \Rightarrow \cos x=0 \text{ или } \cos x=1,$$

$$\sin^2 x(\sin^2 x-1)=0 \Rightarrow \sin x=0 \text{ или } \sin x=\pm1.$$

Совместно это даёт

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^8 x+\sin^3 x=1.$$

Аналогично,

$$0\le \cos^8 x\le 1,$$

поэтому

$$\sin^3 x=1-\cos^8 x\ge 0,$$

значит, $$\sin x\ge 0.$$ Также

$$\cos^8 x\le \cos^2 x,\qquad \sin^3 x\le \sin^2 x.$$

Складываем:

$$\cos^8 x+\sin^3 x\le \cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

Так как по условию левая часть равна $$1$$, то снова получаем равенства

$$\cos^8 x=\cos^2 x,\qquad \sin^3 x=\sin^2 x.$$

Отсюда

$$\cos^2 x(\cos^6 x-1)=0 \Rightarrow \cos x=0 \text{ или } \cos x=\pm1,$$

$$\sin^2 x(\sin x-1)=0 \Rightarrow \sin x=0 \text{ или } \sin x=1.$$

С учётом $$\sin x\ge 0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; 2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$