Упр.23.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$
б) $$2\cos^2 3x-5\cos 3x-3=0$$
в) $$2\cos^2 x-\cos x-3=0$$
г) $$2\cos^2\frac{x}{3}+3\cos\frac{x}{3}-2=0$$
Рассмотрим каждое уравнение отдельно и введём замену $$t=\cos x$$ или $$t=\cos 3x$$, $$t=\cos \frac{x}{3}$$.
Ход решения
$$6\cos^2 x+\cos x-1=0.$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$6t^2+t-1=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_1=\frac{-1-5}{12}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{-1+5}{12}=\frac13.$$
1) Если $$\cos x=-\frac12,$$ то
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\cos x=\frac13,$$ то
$$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 3x-5\cos 3x-3=0.$$
Пусть $$t=\cos 3x$$. Тогда
$$2t^2-5t-3=0.$$
$$D=25+24=49,$$
$$t_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{5+7}{4}=3.$$
Значение $$t_2=3$$ не подходит, так как $$\cos 3x\in[-1;1].$$
Остаётся $$\cos 3x=-\frac12,$$ значит
$$3x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 x-\cos x-3=0.$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2-t-3=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_1=\frac{1-5}{4}=-1,\qquad t_2=\frac{1+5}{4}=\frac32.$$
Значение $$t_2=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Если $$\cos x=-1,$$ то
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 \frac{x}{3}+3\cos \frac{x}{3}-2=0.$$
Пусть $$t=\cos \frac{x}{3}$$. Тогда
$$2t^2+3t-2=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$t_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad t_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$
Значение $$t_1=-2$$ не подходит, так как $$\cos \frac{x}{3}\in[-1;1].$$
Если $$\cos \frac{x}{3}=\frac12,$$ то
$$\frac{x}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
следовательно,
$$x=\pm \pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\pm \pi+6\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
