Упр.23.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x=2$$;
   б) $$3\sin^2 x-\sin x\cos x=2$$;
   в) $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x=3$$;
   г) $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3$$.

Положим $$t=\tg x.$$ Тогда $$\sin^2 x=\frac{t^2}{1+t^2}, \quad \sin x\cos x=\frac{t}{1+t^2}, \quad \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2}.$$

а)

$$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x=2$$
$$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$3\sin^2 x-14\sin x\cos x-5\cos^2 x=0$$
$$3\tg^2 x-14\tg x-5=0.$$

$$3t^2-14t-5=0,$$
$$D=14^2+4\cdot 3\cdot 5=256,$$
$$t_{1,2}=\frac{14\pm 16}{6}.$$

$$t_1=-\frac13,\quad t_2=5.$$

Значит,
$$\tg x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \tg x=5.$$

$$x=-\arctg \frac13+\pi n,\quad x=\arctg 5+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$3\sin^2 x-\sin x\cos x=2$$
$$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\tg^2 x-\tg x-2=0.$$

$$t^2-t-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

$$t_1=-1,\quad t_2=2.$$

Следовательно,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=2.$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x=3$$
$$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$2\sin^2 x-\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
$$2\tg^2 x-\tg x-1=0.$$

$$2t^2-t-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

$$t_1=-\frac12,\quad t_2=1.$$

Значит,
$$\tg x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$

$$x=-\arctg \frac12+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3$$
$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
$$\tg^2 x-2\tg x-3=0.$$

$$t^2-2t-3=0,$$
$$D=4+12=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

$$t_1=-1,\quad t_2=3.$$

Следовательно,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=3.$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg \frac13+\pi n,\ \arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=-\arctg \frac12+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$