Упр.23.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2\sin^2 2x-5\sin 2x\cos 2x+2\cos^2 2x=0$$;
   б) $$3\sin^2 3x+10\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0$$.

а) $$2\sin^2 2x-5\sin 2x\cos 2x+2\cos^2 2x=0.$$

Так как $$\cos 2x\neq 0$$, разделим уравнение на $$\cos^2 2x$$:

$$2\tg^2 2x-5\tg 2x+2=0.$$

Пусть $$y=\tg 2x$$. Тогда

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$

Значит,

$$\tg 2x=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg 2x=2.$$

Тогда

$$2x=\arctg \frac12+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\arctg 2+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\sin^2 3x+10\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0.$$

Так как $$\cos 3x\neq 0$$, разделим уравнение на $$\cos^2 3x$$:

$$3\tg^2 3x+10\tg 3x+3=0.$$

Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда

$$3y^2+10y+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6}.$$

Получаем

$$y_1=-3,\qquad y_2=-\frac13.$$

Значит,

$$\tg 3x=-3 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-\frac13.$$

Тогда

$$3x=-\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad 3x=-\arctg \frac13+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\frac13\arctg 3+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac13\arctg \frac13+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac13\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\; x=-\frac13\arctg \frac13+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$