Упр.23.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• а) $$\sin x=\frac{3}{4}\cos x$$;
• б) $$3\sin x=2\cos x$$;
• в) $$2\sin x+5\cos x=0$$;
• г) $$\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$.

а) $$\sin x=\frac34\cos x$$

Так как $$\cos x\neq 0,$$ разделим обе части на $$\cos x$$:

$$\tg x=\frac34.$$

Тогда

$$x=\arctg\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\sin x=2\cos x$$

При $$\cos x\neq 0$$ делим обе части на $$\cos x$$:

$$3\tg x=2,$$

$$\tg x=\frac23.$$

Следовательно,

$$x=\arctg\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\sin x+5\cos x=0$$

При $$\cos x\neq 0$$ делим обе части на $$\cos x$$:

$$2\tg x+5=0,$$

$$\tg x=-\frac52.$$

Значит,

$$x=-\arctg\frac52+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобку:

$$\cos x(\sin x-3\cos x)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos x=0,$$ тогда $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
2. $$\sin x-3\cos x=0,$$ тогда $$\tg x=3,$$ откуда $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\arctg\frac34+\pi n$$; б) $$x=\arctg\frac23+\pi n$$; в) $$x=-\arctg\frac52+\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$