Упр.22.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) $$\cos x=\frac{1}{2}$$, $$x\in[1;6]$$;
б) $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x\in\left[-\frac{\pi}{4};12\right]$$;
в) $$\cos x=-\frac{1}{2}$$, $$x\in[1;6]$$;
г) $$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x\in[1;6]$$.
а) $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Общее решение:
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
На промежутке $$[1;6]$$ подходят значения:
$$x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{3}+\pi,\ \frac{5\pi}{3}.$$
б) $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Общее решение:
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
На промежутке $$[-\frac{\pi}{4};12]$$ подходят значения:
$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4},\ \frac{13\pi}{4},\ \frac{15\pi}{4},\ \frac{17\pi}{4},\ \frac{19\pi}{4},\ \frac{21\pi}{4},\ \frac{23\pi}{4},\ \frac{25\pi}{4},\ \frac{27\pi}{4},\ \frac{29\pi}{4},\ \frac{31\pi}{4},\ \frac{33\pi}{4},\ \frac{35\pi}{4},\ \frac{37\pi}{4},\ \frac{39\pi}{4},\ \frac{41\pi}{4},\ \frac{43\pi}{4},\ \frac{45\pi}{4},\ \frac{47\pi}{4}.$$
в) $$\sin x=1$$
Общее решение:
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
На промежутке $$[1;6]$$ подходит:
$$x=\frac{\pi}{2}.$$
г) $$\sin x=\frac{1}{2}$$
Общее решение:
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
На промежутке $$[1;6]$$ подходят:
$$x=\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}.$$
Ответ
а) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{3}+\pi,\ \frac{5\pi}{3}$$; б) все значения вида $$-\frac{\pi}{4}+\pi k$$ и $$\frac{\pi}{4}+\pi k$$, лежащие в $$[-\frac{\pi}{4};12]$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}$$.
