Упр.22.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему неравенств:
   а) $$\begin{cases}\sin x<\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \operatorname{tg}x>1{,}5;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\cos x>-\dfrac{3}{7},\\ \operatorname{tg}x<-0{,}1.\end{cases}$$

Рассмотрим каждое неравенство системы отдельно.

а)

$$\sin x<\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \tg x>1{,}5=\frac32.$$

Из неравенства $$\tg x>\frac32$$ получаем

$$x\in\left(\arctan\frac32+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right), \qquad n\in\mathbb Z.$$

На этом промежутке $$\sin x$$ возрастает, поэтому условие $$\sin x<\frac{\sqrt3}{2}$$ даёт

$$x<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Пересечение этих множеств удобно записать по периодам:

$$x\in\left(\arctan\frac32+2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\cos x>-\frac37, \qquad \tg x<-0{,}1=-\frac1{10}.$$

Из неравенства $$\tg x<-\frac1{10}$$ получаем два семейства промежутков:

$$x\in\left(\pi n-\frac{\pi}{2};\ \pi n-\arctan\frac1{10}\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Условие $$\cos x>-\frac37$$ эквивалентно

$$x\in\left(-\arccos\left(-\frac37\right)+2\pi k;\ \arccos\left(-\frac37\right)+2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb Z.$$

Пересечение этих множеств даёт

$$x\in\left(-\arccos\left(-\frac37\right)+2\pi n;\ \pi n-\arctan\frac1{10}\right),\qquad n\in\mathbb Z,$$

где берутся те значения $$n$$, для которых промежуток не пуст.

Ответ

а) $$x\in\left(\arctan\frac32+2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(-\arccos\left(-\frac37\right)+2\pi n;\ \pi n-\arctan\frac1{10}\right),\ n\in\mathbb Z,$$ при непустом пересечении.