Упр.22.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\cos 2\pi x\right)=\sqrt{3}$$;

б) $$\sin\left(2\pi\cos x\right)=\frac{1}{2}$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а)

$$\sin^2 x+\sin^2 3x=0$$

Так как $$\sin^2 x\ge 0$$ и $$\sin^2 3x\ge 0,$$ то сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$\sin^2 x=0,\qquad \sin^2 3x=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0,\qquad \sin 3x=0.$$

Первое уравнение даёт

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Второе уравнение даёт

$$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Общими являются значения $$x=\pi n,$$ так как они удовлетворяют обоим уравнениям.

б)

$$\cos^4 2x+1=\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Левая часть не меньше 1, а правая не больше 1, значит равенство возможно только при

$$\cos^4 2x=0,\qquad \cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Тогда

$$\cos 2x=0,$$

откуда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

И

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm 1,$$

то есть

$$x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Пересечение этих множеств:

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$