Упр.22.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите неравенство: а) $$5\sin^2 t>11\sin t+12$$; б) $$5\sin^2 t\leq11\sin t+12$$.
а) Рассмотрим систему неравенств:
$$\begin{cases} \ctg x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\\ \sin x>-0{,}8. \end{cases}$$
1) Из неравенства $$\ctg x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ получаем:
$$x\in\left(\dfrac{2\pi}{3}+\pi n;\,\pi+\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
2) Из неравенства $$\sin x>-0{,}8$$ имеем:
$$x\in\left(-\arcsin 0{,}8+2\pi n;\,\pi+\arcsin 0{,}8+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Пересекаем полученные промежутки. Тогда
$$x\in\left(-\arcsin 0{,}8+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup \left(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) Рассмотрим систему неравенств:
$$\begin{cases} \cos x<\dfrac{4}{9},\\ \ctg x>-3. \end{cases}$$
1) Из неравенства $$\cos x<\dfrac{4}{9}$$ получаем:
$$x\in\left(\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n;\,2\pi-\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
2) Из неравенства $$\ctg x>-3$$ имеем:
$$x\in\left(\pi n;\,\operatorname{arcctg}(-3)+\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Пересечение этих промежутков даёт:
$$x\in\left(\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n;\,\operatorname{arcctg}(-3)+2\pi n\right)\cup \left(\pi+2\pi n;\,2\pi-\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x\in\left(-\arcsin 0{,}8+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$x\in\left(\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n;\,\operatorname{arcctg}(-3)+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,2\pi-\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
