Упр.22.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: а) $$y=\frac{\sin x}{2\cos x-1}$$; б) $$y=\operatorname{ctg}x(\pi-3\cos x)$$; в) $$y=\frac{\sqrt{x}}{\sin x}$$; г) $$y=\frac{\operatorname{tg}x}{\sqrt{x-5}}$$.

Область определения находим из условий существования выражений в знаменателе и подкоренного выражения.

1. $$y=\dfrac{\sin x}{2\cos x-1}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2\cos x-1\ne 0$$

   $$\cos x\ne \dfrac12$$

   $$x\ne \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

2. $$y=\ctg x\,(\pi-3\cos x)$$

   Функция $$\ctg x$$ определена при

   $$\sin x\ne 0,$$

   то есть

   $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Множитель $$\pi-3\cos x$$ определён при всех $$x\in\mathbb R$$, поэтому

   $$D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi n\mid n\in\mathbb Z\}.$$

3. $$y=\dfrac{\sqrt{x}}{\sin x}$$

   Для корня нужно

   $$x\ge 0,$$

   а знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$\sin x\ne 0.$$

   При $$x\ge 0$$ это означает

   $$x\ne \pi n,\quad n=0,1,2,\dots$$

   Итак,

   $$D(y)=\{x\mid x\ge 0,\ x\ne \pi n,\ n=0,1,2,\dots\}.$$

4. $$y=\dfrac{\tg x}{\sqrt{x-5}}$$

   Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

   $$x-5>0,$$

   то есть

   $$x>5.$$

   Кроме того, $$\tg x$$ определена, когда

   $$\cos x\ne 0,$$

   то есть

   $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\{x\mid x>5,\ x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\}.$$

Ответ

а) $$\mathbb R\setminus\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$

б) $$\mathbb R\setminus\{\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$

в) $$\{x\mid x\ge 0,\ x\ne \pi n,\ n=0,1,2,\dots\}$$

г) $$\{x\mid x>5,\ x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\}$$