Упр.22.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\cos x=\frac{1}{3}$$
   б) $$\cos x=-1{,}1$$
   в) $$\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$
   г) $$\cos x=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Используем свойство косинуса: $$-1 \le \cos x \le 1.$$

Ход решения

1. $$\cos x=\frac13.$$

   Так как $$\frac13 \in [-1;1],$$ то уравнение имеет решения:

   $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\cos x=-1{,}1.$$

   Так как $$-1{,}1<-1,$$ то значение косинуса таким быть не может.

   Корней нет.

3. $$\cos x=-\frac{\sqrt5}{3}.$$

   Так как $$\left|-\frac{\sqrt5}{3}\right|\le 1,$$ то решения существуют:

   $$x=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Можно записать и так:

   $$x=\pm \left(\pi-\arccos \frac{\sqrt5}{3}\right)+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$\cos x=\frac{\sqrt5}{2}.$$

   Так как $$\frac{\sqrt5}{2}>1,$$ то такое значение косинус принимать не может.

   Корней нет.

Ответ

а) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$

б) корней нет;

в) $$x=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$

г) корней нет.