Упр.22.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\operatorname{tg}^2 x-3=0$$; б) $$2\operatorname{tg}^2 x+3\operatorname{tg} x=0$$; в) $$4\operatorname{tg}^2 x-9=0$$; г) $$3\operatorname{tg}^2 x-2\operatorname{tg} x=0$$.

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1.$$

Так как $$\cos t=-1$$ при $$t=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ то

$$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n.$$

$$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{5\pi}{12}-\pi n.$$

Переобозначая целое число, получаем

$$x=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1.$$

Так как $$\tg t=-1$$ при $$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ то

$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

$$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\pi-2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt3.$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Пусть $$t=\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}.$$ Тогда

$$\sin t=\frac{\sqrt3}{2},$$

откуда

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

1) $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=-8\pi n,$$

то есть

$$x=8\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{4\pi}{3}-8\pi n,$$

то есть

$$x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt2.$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Пусть $$t=\frac{\pi}{4}-3x.$$ Тогда

$$\cos t=\frac{\sqrt2}{2},$$

значит,

$$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

1) $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$-3x=2\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi n}{3}.$$

2) $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$-3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi n}{3}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{2\pi n}{3}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{7\pi}{12}+\pi n$$; б) $$x=\pi+2\pi n$$; в) $$x=8\pi n$$ или $$x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n$$; г) $$x=\frac{2\pi n}{3}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$