Упр.22.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\operatorname{ctg} x = 1$$; б) $$\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$$; в) $$\operatorname{ctg} x = 0$$; г) $$\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

а) $$\sin\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Так как $$\sin(-t)=-\sin t,$$ получаем

$$-\sin\frac{x}{3}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{3}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Умножим на $$3$$:

$$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos(-2x)=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Так как $$\cos(-t)=\cos t,$$ имеем

$$\cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$2$$:

$$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\tg(-4x)=\frac{1}{\sqrt3}$$

Так как $$\tg(-t)=-\tg t,$$ получаем

$$-\tg 4x=\frac{1}{\sqrt3}, \qquad \tg 4x=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$4x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$4$$:

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)=1$$

Так как $$\ctg(-t)=-\ctg t,$$ имеем

$$-\ctg\frac{x}{2}=1, \qquad \ctg\frac{x}{2}=-1.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Умножим на $$2$$:

$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.