Упр.21.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$8\arcsin^2 x+2\pi\arcsin x<\pi^2$$; б) $$18\arctg^2 x-3\pi\arctg x\geq\pi^2$$; в) $$9\arccos^2 x\leq9\pi\arccos x-2\pi^2$$; г) $$16\arcctg^2 x+3\pi^2>16\pi\arcctg x$$.

Положим в каждом пункте соответствующую тригонометрическую функцию за новую переменную.

а)

Пусть $$y=\arcsin x.$$ Тогда

$$8y^2+2\pi y-\pi^2<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(2\pi)^2+4\cdot 8\cdot \pi^2=36\pi^2,$$

$$y_1=\frac{-2\pi-6\pi}{16}=-\frac{\pi}{2},\qquad y_2=\frac{-2\pi+6\pi}{16}=\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\left(y-\frac{\pi}{4}\right)<0,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{4}.$$

Так как $$y=\arcsin x,$$ а функция $$\arcsin x$$ возрастает на $$[-1;1],$$ получаем

$$-1<x<\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

б)

Пусть $$y=\arctg x.$$ Тогда

$$18y^2-3\pi y-\pi^2\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=(3\pi)^2+4\cdot 18\cdot \pi^2=81\pi^2,$$

$$y_1=\frac{3\pi-9\pi}{36}=-\frac{\pi}{6},\qquad y_2=\frac{3\pi+9\pi}{36}=\frac{\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$\left(y+\frac{\pi}{6}\right)\left(y-\frac{\pi}{3}\right)\ge 0,$$

то есть

$$y\le -\frac{\pi}{6}\quad \text{или}\quad y\ge \frac{\pi}{3}.$$

Так как $$y=\arctg x,$$ а функция $$\arctg x$$ возрастает на всей области определения, имеем

$$x\le \tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

в)

Пусть $$y=\arccos x.$$ Тогда

$$9y^2-9\pi y+2\pi^2\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=(9\pi)^2-4\cdot 9\cdot 2\pi^2=9\pi^2,$$

$$y_1=\frac{9\pi-3\pi}{18}=\frac{\pi}{3},\qquad y_2=\frac{9\pi+3\pi}{18}=\frac{2\pi}{3}.$$

Тогда

$$\left(y-\frac{\pi}{3}\right)\left(y-\frac{2\pi}{3}\right)\le 0,$$

откуда

$$\frac{\pi}{3}\le y\le \frac{2\pi}{3}.$$

Так как $$y=\arccos x,$$ а функция $$\arccos x$$ убывает на $$[-1;1],$$ получаем

$$\cos\frac{2\pi}{3}\le x\le \cos\frac{\pi}{3},$$

то есть

$$-\frac12\le x\le \frac12.$$

г)

Пусть $$y=\arcctg x.$$ Тогда

$$16y^2-16\pi y+3\pi^2>0.$$

Найдём корни:

$$D=(16\pi)^2-4\cdot 16\cdot 3\pi^2=64\pi^2,$$

$$y_1=\frac{16\pi-8\pi}{32}=\frac{\pi}{4},\qquad y_2=\frac{16\pi+8\pi}{32}=\frac{3\pi}{4}.$$

Следовательно,

$$\left(y-\frac{\pi}{4}\right)\left(y-\frac{3\pi}{4}\right)>0,$$

то есть

$$y<\frac{\pi}{4}\quad \text{или}\quad y>\frac{3\pi}{4}.$$

Так как $$y=\arcctg x,$$ а функция $$\arcctg x$$ убывает, имеем

$$x>\ctg\frac{\pi}{4}=1\quad \text{или}\quad x<\ctg\frac{3\pi}{4}=-1.$$

Ответ: а) $$-1<x<\frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$x\le -\frac{\sqrt3}{3}$$ или $$x\ge \sqrt3$$; в) $$-\frac12\le x\le \frac12$$; г) $$x<-1$$ или $$x>1$$.