Упр.21.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\arccos x=\arctg x$$;
- $$\arccos x=\arcsin x$$;
- $$\arcctg x=\arctg x$$;
- $$\arcsin x=\arcctg x$$.
а) $$\arccos x=\arctg x$$
Возьмём тангенс от обеих частей:
$$\tg(\arccos x)=\tg(\arctg x)$$
$$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=x$$
$$\sqrt{1-x^2}=x^2$$
$$1-x^2=x^4$$
Положим $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2+y-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
Так как $$y=x^2\ge 0$$, подходит только
$$y=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
Следовательно,
$$x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}$$
б) $$\arccos x=\arcsin x$$
Возьмём косинус от обеих частей:
$$\cos(\arccos x)=\cos(\arcsin x)$$
$$x=\sqrt{1-x^2}$$
$$x^2=1-x^2$$
$$2x^2=1$$
$$x^2=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$
Но из уравнения $$x=\sqrt{1-x^2}$$ следует, что $$x\ge 0$$, значит
$$x=\frac{\sqrt2}{2}$$
в) $$\arcctg x=\arctg x$$
Возьмём синус от обеих частей:
$$\sin(\arcctg x)=\sin(\arctg x)$$
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$x=1$$
г) $$\arcsin x=\arcctg x$$
Возьмём котангенс от обеих частей:
$$\ctg(\arcsin x)=\ctg(\arcctg x)$$
$$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=x$$
$$\sqrt{1-x^2}=x^2$$
$$1-x^2=x^4$$
Положим $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2+y-1=0$$
$$y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
С учётом $$y=x^2\ge 0$$ получаем
$$y=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
Значит,
$$x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}$$
Ответ: а) $$\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}$$; б) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; в) $$1$$; г) $$\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}$$.
