Упр.21.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   
   а) $$8\arcsin^2 x+2\pi\arcsin x=\pi^2$$;
   
   б) $$18\arctg^2 x-3\pi\arctg x=\pi^2$$;
   
   в) $$18\arccos^2 x=3\pi\arccos x+\pi^2$$;
   
   г) $$16\operatorname{arcctg}^2 x+3\pi^2=16\pi\operatorname{arcctg} x$$.

а) Пусть $$y=\arcsin x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$8y^2+2\pi y-\pi^2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(2\pi)^2-4\cdot 8\cdot(-\pi^2)=4\pi^2+32\pi^2=36\pi^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pi\pm 6\pi}{16}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac{\pi}{2},\qquad y_2=\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$\arcsin x=-\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

$$\arcsin x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

б) Пусть $$y=\arctg x$$. Тогда:

$$18y^2-3\pi y-\pi^2=0.$$

Находим корни:

$$D=(3\pi)^2-4\cdot 18\cdot(-\pi^2)=9\pi^2+72\pi^2=81\pi^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pi\pm 9\pi}{36}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac{\pi}{6},\qquad y_2=\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$\arctg x=-\frac{\pi}{6}\Rightarrow x=\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3},$$

$$\arctg x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

в) Пусть $$y=\arccos x$$. Тогда:

$$18y^2-3\pi y-\pi^2=0.$$

Корни те же:

$$y_1=-\frac{\pi}{6},\qquad y_2=\frac{\pi}{3}.$$

Но для функции $$\arccos x$$ значения лежат в промежутке $$[0;\pi]$$, поэтому $$y=-\frac{\pi}{6}$$ не подходит.

Остаётся

$$\arccos x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

г) Пусть $$y=\arcctg x$$. Тогда:

$$16y^2-16\pi y+3\pi^2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(16\pi)^2-4\cdot 16\cdot 3\pi^2=256\pi^2-192\pi^2=64\pi^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{16\pi\pm 8\pi}{32}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac{\pi}{4},\qquad y_2=\frac{3\pi}{4}.$$

Тогда

$$\arcctg x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow x=\ctg\frac{\pi}{4}=1,$$

$$\arcctg x=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow x=\ctg\frac{3\pi}{4}=-1.$$

Ответ

а) $$-1;\ \frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$-\frac{\sqrt3}{3};\ \sqrt3$$; в) $$\frac12$$; г) $$-1;\ 1$$.