Упр.21.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что:

1. $$\sin(\operatorname{arctg} x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$;
2. $$\operatorname{tg}(\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$;
3. $$\sin(\operatorname{arcctg} x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$;
4. $$\operatorname{tg}(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$.

Пусть $$t=\arctg x.$$ Тогда $$\tg t=x,$$ а поскольку $$-\frac{\pi}{2}

Из тождества $$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}$$ получаем

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Тогда

$$\sin(\arctg x)=\sin t=\tg t\cdot \cos t=x\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Пусть $$t=\arcsin x.$$ Тогда $$\sin t=x,$$ а поскольку $$-\frac{\pi}{2}\le t\le \frac{\pi}{2},$$ то $$\cos t\ge 0.$$

Из тождества $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ имеем

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-x^2}.$$

Следовательно,

$$\tg(\arcsin x)=\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Пусть $$t=\arcctg x.$$ Тогда $$\ctg t=x,$$ а поскольку $$0<t<\pi,$$ то $$\sin t>0.$$

Из тождества $$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}$$ получаем

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Значит,

$$\sin(\arcctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Пусть $$t=\arccos x.$$ Тогда $$\cos t=x,$$ а поскольку $$0\le t\le \pi,$$ то $$\sin t\ge 0.$$

Из тождества $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ имеем

$$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-x^2}.$$

Тогда

$$\tg(\arccos x)=\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$

Ответ: $$\sin(\arctg x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad \tg(\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\quad \sin(\arcctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\quad \tg(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$