Упр.21.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$$; б) $$\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$$; в) $$\sin\left(\arccos(-0{,}8)\right)$$; г) $$\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$$.

Пусть $$t=\arccos x.$$ Тогда $$t\in[0;\pi]$$ и можно найти значения тригонометрических функций через $$\cos t=x$$.

1. $$\sin(\arccos \frac{3}{5})=\sin t.$$

   Так как $$\cos t=\frac{3}{5}$$ и $$t\in[0;\pi]$$, то $$\sin t>0$$:

   $$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

2. $$\tg(\arccos(-\frac{5}{13}))=\tg t.$$

   Здесь $$\cos t=-\frac{5}{13}$$, а значит $$t\in[0;\pi]$$ и $$\sin t>0$$:

   $$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}.$$

3. $$\sin(\arccos(-0{,}8))=\sin t.$$

   Так как $$\cos t=-0{,}8$$, то

   $$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-(-0{,}8)^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.$$

4. $$\ctg(\arccos \frac{4}{5})=\ctg t.$$

   Пусть $$\cos t=\frac{4}{5}$$. Тогда $$t\in[0;\pi]$$ и $$\sin t>0$$:

   $$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

   Следовательно,

   $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}.$$

Ответ: а) $$\frac{4}{5}$$; б) $$-\frac{12}{5}$$; в) $$0{,}6$$; г) $$\frac{4}{3}$$.