Упр.21.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

а) $$y=|\operatorname{arctg}x|$$; б) $$y=\operatorname{arcctg}|x|$$; в) $$y=-2\operatorname{arcctg}|x|$$; г) $$y=\operatorname{arctg}x+\frac{\pi}{6}$$.

а) Для функции $$y=|\arctg x|$$ берём график $$y=\arctg x$$ и отражаем его часть, лежащую ниже оси $$Ox$$, относительно этой оси. Тогда

$$y= \begin{cases} \arctg x, & x\ge 0,\\ -\arctg x, & x<0. \end{cases}$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(y)=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right).$$

б) Для функции $$y=\operatorname{arcctg}|x|$$ строим график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, затем убираем его часть слева от оси $$Oy$$ и отражаем оставшуюся часть относительно оси $$Oy$$. Получаем

$$y= \begin{cases} \operatorname{arcctg}x, & x\ge 0,\\ \operatorname{arcctg}(-x), & x<0. \end{cases}$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(y)=\left(0;\pi\right).$$

в) Для функции $$y=-2\,\operatorname{arcctg}|x|$$ сначала строим график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, затем отражаем его относительно оси $$Ox$$, убираем часть слева от оси $$Oy$$, отражаем оставшуюся часть относительно оси $$Oy$$ и растягиваем график от оси $$Ox$$ в 2 раза. Тогда

$$y= \begin{cases} -2\,\operatorname{arcctg}x, & x\ge 0,\\ -2\,\operatorname{arcctg}(-x), & x<0. \end{cases}$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(y)=(-2\pi;0).$$

г) Для функции $$y=\arctg x+\dfrac{\pi}{6}$$ график $$y=\arctg x$$ сдвигаем вверх на $$\dfrac{\pi}{6}$$.

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(y)=\left(-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right).$$

Ответ

а) $$y=|\arctg x|$$; б) $$y=\operatorname{arcctg}|x|$$; в) $$y=-2\,\operatorname{arcctg}|x|$$; г) $$y=\arctg x+\dfrac{\pi}{6}$$.