Упр.21.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Исследуйте функцию на чётность:

• а) $$y=\frac{\arctg x}{x^4}$$;
• б) $$y=\sin^2 x+x\arctg x$$;
• в) $$y=\arcsin x+\operatorname{arcctg} x$$;
• г) $$y=2\operatorname{arcctg} x+x^5-3\arcsin 2x$$.

Проверим, выполняется ли равенство $$f(-x)=f(x)$$ для чётной функции или $$f(-x)=-f(x)$$ для нечётной.

1. $$y=\dfrac{\operatorname{arctg}x}{x^4}$$

   $$y(-x)=\dfrac{\operatorname{arctg}(-x)}{(-x)^4}=\dfrac{-\operatorname{arctg}x}{x^4}=-y(x).$$

   Функция нечётная.

2. $$y=\sin^2 x+x\operatorname{arctg}x$$

   $$y(-x)=\sin^2(-x)+(-x)\operatorname{arctg}(-x)=\sin^2 x+x\operatorname{arctg}x=y(x).$$

   Функция чётная.

3. $$y=\arcsin x+\operatorname{arcctg}x$$

   $$y(-x)=\arcsin(-x)+\operatorname{arcctg}(-x)=-\arcsin x+\pi-\operatorname{arcctg}x.$$

   Это не равно ни $$y(x)$$, ни $$-y(x)$$, значит функция ни чётная, ни нечётная.

4. $$y=2\operatorname{arcctg}x+x^5-3\arcsin 2x$$

   $$y(-x)=2\operatorname{arcctg}(-x)+(-x)^5-3\arcsin(-2x)=2(\pi-\operatorname{arcctg}x)-x^5+3\arcsin 2x.$$

   То есть

   $$y(-x)=2\pi-2\operatorname{arcctg}x-x^5+3\arcsin 2x,$$

   что не совпадает ни с $$y(x)$$, ни с $$-y(x)$$. Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ: а) нечётная; б) чётная; в) ни чётная, ни нечётная; г) ни чётная, ни нечётная.