Упр.21.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте и прочитайте график функции:
   а) $$y=\arccos 2x$$;
   б) $$y=\arccos \frac{x}{2}-\frac{5\pi}{6}$$;
   в) $$y=-\arccos \frac{x}{3}$$;
   г) $$y=\arccos 2(x-1)-\frac{\pi}{2}$$.

Используем свойства графика функции $$y=\arccos x$$:

• область определения: $$x\in[-1;1]$$;
• область значений: $$y\in[0;\pi]$$;
• функция убывает на всей области определения.

а) $$y=\arccos 2x$$

Это график $$y=\arccos x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 2 раза.

Так как $$-1\le 2x\le 1$$, то

$$D(f)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$

Значения функции не меняются:

$$E(f)=[0;\pi].$$

Функция убывает на $$\left[-\frac12;\frac12\right]$$.

б) $$y=\arccos \frac{x}{2}-\frac{5\pi}{6}$$

График $$y=\arccos x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 2 раза, затем сдвигаем вниз на $$\frac{5\pi}{6}$$.

Из условия $$-1\le \frac{x}{2}\le 1$$ получаем

$$D(f)=[-2;2].$$

Так как $$\arccos \frac{x}{2}\in[0;\pi]$$, то после сдвига вниз

$$E(f)=\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right].$$

Функция убывает на $$[-2;2]$$.

в) $$y=-\arccos \frac{x}{3}$$

График $$y=\arccos x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 3 раза и отражаем относительно оси абсцисс.

Из условия $$-1\le \frac{x}{3}\le 1$$ получаем

$$D(f)=[-3;3].$$

Так как $$\arccos \frac{x}{3}\in[0;\pi]$$, то

$$E(f)=[-\pi;0].$$

После отражения возрастающая функция, значит $$y$$ возрастает на $$[-3;3]$$.

г) $$y=\arccos 2(x-1)-\frac{\pi}{2}$$

Сначала сжимаем график $$y=\arccos x$$ к оси $$Oy$$ в 2 раза, затем сдвигаем его на 1 единицу вправо и вниз на $$\frac{\pi}{2}$$.

Из условия $$-1\le 2(x-1)\le 1$$ получаем

$$\frac12\le x\le \frac32,$$

то есть

$$D(f)=\left[\frac12;\frac32\right].$$

Так как $$\arccos 2(x-1)\in[0;\pi]$$, то

$$E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Функция убывает на $$\left[\frac12;\frac32\right]$$.

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } D(f)=\left[-\frac12;\frac12\right],\quad E(f)=[0;\pi],\quad f \text{ убывает};\\ &\text{б) } D(f)=[-2;2],\quad E(f)=\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right],\quad f \text{ убывает};\\ &\text{в) } D(f)=[-3;3],\quad E(f)=[-\pi;0],\quad f \text{ возрастает};\\ &\text{г) } D(f)=\left[\frac12;\frac32\right],\quad E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\quad f \text{ убывает}. \end{aligned}$$