Упр.21.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

а) $$y=3|\arcsin x|-\arcsin x$$;

б) $$y=\arcsin x+|\arcsin x|$$;

в) $$y=\arcsin x-\frac{\pi}{3}$$;

г) $$y=-\arcsin|x-2|$$.

а) Рассмотрим модуль:

$$y=3|\arcsin x|-\arcsin x= \begin{cases} 3\arcsin x-\arcsin x=2\arcsin x, & \arcsin x\ge 0,\\ -3\arcsin x-\arcsin x=-4\arcsin x, & \arcsin x<0. \end{cases}$$

Так как $$\arcsin x\ge 0$$ при $$x\ge 0$$, а $$\arcsin x<0$$ при $$x<0$$, то

$$y= \begin{cases} 2\arcsin x, & x\ge 0,\\ -4\arcsin x, & x<0. \end{cases}$$

График получается из графика $$y=\arcsin x$$: справа он растягивается в 2 раза по оси $$Oy$$, слева — отражается относительно оси $$Ox$$ и растягивается в 4 раза.

б) Аналогично:

$$y=\arcsin x+|\arcsin x|= \begin{cases} \arcsin x+\arcsin x=2\arcsin x, & x\ge 0,\\ \arcsin x-\arcsin x=0, & x<0. \end{cases}$$

Значит,

$$y= \begin{cases} 2\arcsin x, & x\ge 0,\\ 0, & x<0. \end{cases}$$

То есть слева от оси $$Oy$$ график совпадает с осью $$Ox$$, а справа — это график $$y=2\arcsin x$$.

в) Для функции

$$y=\left|\arcsin x-\frac{\pi}{3}\right|$$

сначала строим график $$y=\arcsin x$$, затем сдвигаем его вниз на $$\frac{\pi}{3}$$ и часть графика, лежащую ниже оси $$Ox$$, отражаем относительно этой оси.

Эквивалентно:

$$y= \begin{cases} \arcsin x-\frac{\pi}{3}, & \arcsin x\ge \frac{\pi}{3},\\ -\arcsin x+\frac{\pi}{3}, & \arcsin x<\frac{\pi}{3}. \end{cases}$$

г) Имеем

$$y=-\arcsin|x-2|=\arcsin(-|x-2|).$$

Сначала строим график $$y=\arcsin x$$, затем:

1. сдвигаем его на $$2$$ единицы вправо;
2. убираем часть графика, лежащую справа от прямой $$x=2$$;
3. отражаем относительно прямой $$x=2$$ оставшуюся часть.

Область определения: $$|x-2|\le 1$$, то есть $$x\in[1;3]$$. Значения функции: $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$.

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } y= \begin{cases} 2\arcsin x, & x\ge 0,\\ -4\arcsin x, & x<0; \end{cases}\\[6pt] &\text{б) } y= \begin{cases} 2\arcsin x, & x\ge 0,\\ 0, & x<0; \end{cases}\\[6pt] &\text{в) } y=\left|\arcsin x-\frac{\pi}{3}\right|;\\[6pt] &\text{г) } y=-\arcsin|x-2|,\quad x\in[1;3]. \end{aligned}$$