Упр.20.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\tg x$$. Докажите, что:
а) $$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=0$$;
б) $$f(\pi-x)+f(5\pi+x)=0$$.

Используем периодичность функции $$f(x)=\tg x$$: $$\tg(x+\pi)=\tg x.$$

а)

$$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=\tg(2x+2\pi)+\tg(7\pi-2x).$$

Так как $$\tg(2x+2\pi)=\tg 2x,$$ а

$$\tg(7\pi-2x)=\tg(\pi-2x)=-\tg 2x,$$

то

$$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=\tg 2x-\tg 2x=0.$$

Утверждение доказано.

б)

$$f(\pi-x)+f(5\pi+x)=\tg(\pi-x)+\tg(5\pi+x).$$

Преобразуем каждое слагаемое:

$$\tg(\pi-x)=-\tg x,$$

$$\tg(5\pi+x)=\tg x.$$

Тогда

$$f(\pi-x)+f(5\pi+x)=-\tg x+\tg x=0.$$

Утверждение доказано.

Ответ

$$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=0,\qquad f(\pi-x)+f(5\pi+x)=0.$$