Упр.20.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$9x^2-6x+6=\left(\sqrt{5}-\operatorname{tg}3\pi x\right)\left(\sqrt{5}+\operatorname{tg}3\pi x\right)$$.

$$9x^2-6x+6=(\sqrt5-\tg 3\pi x)(\sqrt5+\tg 3\pi x)$$

Раскроем скобки по формуле разности квадратов:

$$9x^2-6x+6=5-\tg^2 3\pi x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$9x^2-6x+1=-\tg^2 3\pi x$$

Левая часть — полный квадрат:

$$\left(3x-1\right)^2=-\tg^2 3\pi x$$

Так как $$\left(3x-1\right)^2\ge 0$$ и $$-\tg^2 3\pi x\le 0,$$ то равенство возможно только при

$$\left(3x-1\right)^2=0 \quad \text{и} \quad \tg^2 3\pi x=0.$$

Отсюда

$$3x-1=0,$$

$$x=\frac13.$$

Проверка:

$$\tg 3\pi\cdot \frac13=\tg \pi=0,$$

значит, найденное значение подходит.

Ответ: $$x=\frac13$$