Упр.20.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=|\operatorname{tg}x|$$; в) $$y=|\operatorname{ctg}x|$$; б) $$y=\operatorname{tg}|x|$$; г) $$y=\operatorname{ctg}|x|$$.

Для построения графиков удобно использовать свойства модуля:

• $$|f(x)|=\begin{cases}f(x),& f(x)\ge 0,\\-f(x),& f(x)<0.\end{cases}$$
• $$f(|x|)=\begin{cases}f(x),& x\ge 0,\\f(-x),& x<0.\end{cases}$$

а) $$y=|\tg x|$$

Если $$\tg x\ge 0$$, то $$y=\tg x$$, а если $$\tg x<0$$, то $$y=-\tg x$$. Поэтому отрицательные ветви графика $$y=\tg x$$ отражаются относительно оси $$Ox$$ вверх.

Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$y=\tg|x|$$

При $$x\ge 0$$ имеем $$y=\tg x$$, при $$x<0$$ — $$y=\tg(-x)=-\tg x$$. Значит, график функции симметричен относительно оси $$Oy$$: правая часть графика $$y=\tg x$$ отражается влево.

Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

в) $$y=|\ctg x|$$

Если $$\ctg x\ge 0$$, то $$y=\ctg x$$, а если $$\ctg x<0$$, то $$y=-\ctg x$$. Отрицательные ветви графика $$y=\ctg x$$ отражаются вверх относительно оси $$Ox$$.

Область определения: $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

г) $$y=\ctg|x|$$

При $$x\ge 0$$ получаем $$y=\ctg x$$, при $$x<0$$ — $$y=\ctg(-x)=-\ctg x$$. Следовательно, график симметричен относительно оси $$Oy$$.

Область определения: $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ: графики функций получаются из графиков $$y=\tg x$$ и $$y=\ctg x$$ отражением отрицательных ветвей относительно оси $$Ox$$ для функций с модулем по значению и отражением правой части относительно оси $$Oy$$ для функций с модулем от аргумента.