Упр.20.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\tg x$$ на заданном промежутке: а) на интервале $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$; б) на полуинтервале $$\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right)$$; в) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]$$; г) на полуинтервале $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$.

Функция $$y=\tg x$$ на каждом промежутке, где она непрерывна, возрастает. Поэтому на отрезке или полуинтервале наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если обе границы входят в промежуток.

1. $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$

   На этом интервале функция имеет разрывы в точках $$x=\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{3\pi}{2}$$, поэтому наименьшего и наибольшего значений нет.

2. $$\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$

   Функция непрерывна на промежутке и возрастает, значит

   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\tg\frac{3\pi}{4}=-1,$$

   $$y(\pi)=\tg\pi=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=0.$$

3. $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{6}\right]$$

   Функция непрерывна на отрезке и возрастает, значит

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

4. $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right)$$

   Функция непрерывна на промежутке и возрастает, поэтому

   $$y(\pi)=\tg\pi=0.$$

   При $$x\to \frac{3\pi}{2}-0$$ значение функции неограниченно возрастает, значит наибольшего значения нет.

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ не существует.

Ответ: а) наименьшего и наибольшего значений нет; б) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=0$$; в) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$; г) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ нет.