Упр.19.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Подберите коэффициенты $$a$$, $$b$$ и $$c$$ так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $$y=a\cos\left(bx+\frac{c}{a}\right)$$: а) рис. 64; б) рис. 65.

Для функции $$y=a\cos(bx+c)$$ амплитуда равна $$|a|$$, а расстояние между соседними нулями косинуса равно $$\frac{\pi}{b}$$.

а)

По рисунку график пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x_1=-\frac{\pi}{3}$$ и $$x_2=\frac{\pi}{3}$$. Тогда

$$\frac{\pi}{b}=x_2-x_1=\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3},$$

откуда

$$b=\frac{3}{2}.$$

Вершина дуги находится в точке $$\left(0;-2\right)$$, значит

$$a=-2,\qquad c=0.$$

Следовательно,

$$y=-2\cos\frac{3x}{2}.$$

б)

По рисунку график пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x_1=-\frac{7\pi}{12}$$ и $$x_2=-\frac{\pi}{12}$$. Тогда

$$\frac{\pi}{b}=x_2-x_1=-\frac{\pi}{12}-\left(-\frac{7\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{2},$$

откуда

$$b=2.$$

Вершина дуги находится в точке $$\left(-\frac{\pi}{3};3\right)$$, значит

$$a=3.$$

Подставим координату вершины в аргумент косинуса:

$$2\left(-\frac{\pi}{3}\right)+c=0,$$

следовательно,

$$c=\frac{2\pi}{3}.$$

Итак,

$$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right).$$

Ответ

а) $$y=-2\cos\frac{3x}{2}$$; б) $$y=3\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$$.