Упр.19.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Введём новую переменную $$t=3x-\frac{\pi}{2}.$$ Тогда функция принимает вид $$y=-3\cos t.$$

Функция $$y=-\cos t$$ возрастает на промежутках

$$2\pi n \le t \le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит, функция $$y=-3\cos\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)$$ возрастает при

$$2\pi n \le 3x-\frac{\pi}{2} \le \pi+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}.$$

а) Возрастает на $$\left(a;2a\right)$$

Чтобы отрезок $$\left(a;2a\right)$$ целиком лежал внутри промежутка возрастания, нужно, чтобы

$$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le a,\qquad 2a\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Тогда

$$a\ge \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},$$

$$a\le \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}.$$

При положительном $$a$$ подходит только $$n=0$$. Поэтому

$$\frac{\pi}{6}\le a\le \frac{\pi}{4}.$$

б) Убывает на $$\left[a;a+\frac{\pi}{3}\right]$$

Функция $$y=-\cos t$$ убывает на промежутках

$$-\pi+2\pi n \le t \le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, функция $$y=-3\cos\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)$$ убывает при

$$-\pi+2\pi n \le 3x-\frac{\pi}{2} \le 2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Для отрезка $$\left[a;a+\frac{\pi}{3}\right]$$ получаем

$$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\le a,\qquad a+\frac{\pi}{3}\le \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Отсюда

$$a=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Так как по условию $$a>0$$, то $$n\in\mathbb N$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi}{6}\le a\le \frac{\pi}{4}$$; б) $$a=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb N.$$