Упр.18.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть

$$f(x)=\begin{cases}\cos 2x, & x\le \pi,\\ -\dfrac12, & x>\pi.\end{cases}$$

а)

Функция $$y=\cos 2x$$ определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и принимает значения из промежутка $$[-1;1]$$.

Для второй части имеем постоянную функцию $$y=-\dfrac12$$ при $$x>\pi$$.

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;+\infty),$$

$$E(f)=[-1;1].$$

Так как при $$x>\pi$$ функция постоянна, то она не является ни чётной, ни нечётной и не является периодической.

Найдём промежутки возрастания и убывания на части $$x\le \pi$$:

$$f'(x)=-2\sin 2x.$$

Тогда

$$f'(x)>0 \iff \sin 2x<0,$$

$$f'(x)<0 \iff \sin 2x>0.$$

Отсюда:

$$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\,\pi-2\pi n\right],$$

$$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[-2\pi n;\,\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$x>\pi$$ функция постоянна.

Знаки функции:

$$\cos 2x>0 \iff x\in\left(-\dfrac{\pi}{4}-2\pi n;\,\dfrac{\pi}{4}-2\pi n\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{4}-2\pi n;\,\pi\right),$$

$$\cos 2x<0 \iff x\in\left(\dfrac{\pi}{4}-2\pi n;\,\dfrac{3\pi}{4}-2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

а при $$x>\pi$$ имеем $$f(x)=-\dfrac12<0.$$

б)

Функция

$$f(x)=\begin{cases}-\sin 3x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$

Область определения:

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Множество значений:

$$E(f)=[-1;+\infty).$$

Действительно, при $$x<0$$ функция $$-\sin 3x$$ принимает значения из $$[-1;1]$$, а при $$x\ge 0$$ функция $$\sqrt{x}$$ принимает все значения из $$[0;+\infty)$$.

Функция не является ни чётной, ни нечётной и не является периодической.

Промежутки монотонности:

$$-\sin 3x\ \text{возрастает, когда}\ \cos 3x>0,$$

$$-\sin 3x\ \text{убывает, когда}\ \cos 3x<0.$$

Поэтому

$$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\,-\dfrac{\pi}{6}-2\pi n\right]\cup[0;+\infty),$$

$$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[-\dfrac{5\pi}{6}-2\pi n;\,-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[-\dfrac{\pi}{6};0\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Знаки функции:

$$f(x)>0 \text{ при } x\in\left(-\dfrac{\pi}{3}-2\pi n;\,-2\pi n\right)\cup(0;+\infty),$$

$$f(x)<0 \text{ при } x\in\left(-\dfrac{2\pi}{3}-2\pi n;\,-\dfrac{\pi}{3}-2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной и не является периодической.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[-1;1]$$; функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.

б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[-1;+\infty)$$; функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.