Упр.18.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]$$ функция $$y=\sin 2x$$ принимает значения от значения в точке $$x=-\frac{\pi}{4}$$ до значения в точке $$x=0$$:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

$$y(0)=\sin 0=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=0.$$

б) На интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{2}\right)$$:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\pi=0.$$

Так как интервал открытый, значение $$-1$$ не достигается, а наибольшее значение равно $$1$$.

Следовательно, $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1.$$

в) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}\right]$$:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Значит, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$$

г) На полуинтервале $$\left(0;\,\pi\right]$$ функция $$y=\sin 2x$$ проходит полный период, поэтому

$$-1\le \sin 2x\le 1.$$

Наименьшее значение достигается при $$x=\frac{3\pi}{4}$$, наибольшее — при $$x=\frac{\pi}{4}.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$.