Упр.16.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$f(x)=\begin{cases} \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right), & -\dfrac{3\pi}{2}\le x\le 0,\\[4pt] x+1, & 0<x<2,\\[4pt] -\sqrt{x-2}+3, & x\ge 2 \end{cases}$$

а)

$$f(0)=\sin\left(0+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1.$$

$$f(6)=-\sqrt{6-2}+3=-\sqrt4+3=-2+3=1.$$

$$f(-\pi-2)\text{ не существует, так как }-\pi-2<-\dfrac{3\pi}{2}\text{ и эта точка не входит в область определения.}$$

б)

Построим график по частям:

1. $$y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right),\quad -\dfrac{3\pi}{2}\le x\le 0.$$
   Это участок синусоиды через точки $$\left(-\dfrac{3\pi}{2},0\right),\;(-\pi,-1),\;\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right),\;(0,1).$$
2. $$y=x+1,\quad 0<x<2.$$
   Это отрезок прямой, проходящий через точки $$(0,1)$$ и $$(2,3).$$
3. $$y=-\sqrt{x-2}+3,\quad x\ge 2.$$
   Начальная точка $$(2,3),$$ далее график убывает; например, проходит через точки $$(3,2)$$ и $$(6,1).$$

в)

Найдём свойства функции:

• $$D(f)=\left[-\dfrac{3\pi}{2};+\infty\right);$$
• $$E(f)=(-\infty;3];$$
• возрастает на $$[-\pi;2];$$
• убывает на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\pi\right]\cup[2;+\infty);$$
• $$f(x)>0$$ на $$\left(-\dfrac{\pi}{2};11\right);$$
• $$f(x)<0$$ на $$\left(-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right)\cup(11;+\infty);$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

Ответ: $$f(0)=1,\; f(6)=1,\; f(-\pi-2)\text{ не существует};\quad D(f)=\left[-\dfrac{3\pi}{2};+\infty\right),\; E(f)=(-\infty;3].$$