Упр.16.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим точки пересечения графиков функций.

а) $$\cos x \ge 1+|x|.$$

Построим графики $$y=\cos x$$ и $$y=1+|x|.$$

У функции $$y=1+|x|$$ наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=0$$. При этом $$\cos x \le 1$$ для всех $$x$$, значит равенство возможно только при

$$\cos x=1,\quad 1+|x|=1.$$

Отсюда $$x=0.$$

Ответ: $$x=0.$$

б) $$\sin x \le -\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)^2-1.$$

Рассмотрим графики $$y=\sin x$$ и $$y=-\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)^2-1.$$

Парабола имеет вершину в точке $$\left(\frac{3\pi}{2},-1\right)$$ и не превышает значения $$-1$$. График $$y=\sin x$$ принимает значение $$-1$$ только при

$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Проверим точку $$x=\frac{3\pi}{2}$$:

$$\sin\frac{3\pi}{2}=-1,\qquad -\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{3\pi}{2}\right)^2-1=-1.$$

Следовательно, решение:

$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$