Упр.15.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дано выражение $$\cos 1^\circ+\cos 2^\circ+\cos 3^\circ+\dots+\cos n^\circ$$.

а) При каких натуральных значениях $$n<360$$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $$n<360$$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение равно нулю?

Обозначим

$$S_n=\cos 1^\circ+\cos 2^\circ+\cos 3^\circ+\dots+\cos n^\circ.$$

Используем формулы:

$$\cos(180^\circ-a)=-\cos a,\qquad \cos(360^\circ-a)=\cos a.$$

Тогда для каждого угла из промежутка $$1^\circ,2^\circ,\dots,179^\circ$$ можно подобрать парный угол:

$$\cos k^\circ+\cos(180^\circ-k^\circ)=0,\qquad k=1,2,\dots,89,$$

а также

$$\cos 90^\circ=0,\qquad \cos 180^\circ=-1,\qquad \cos 360^\circ=1.$$

Рассмотрим значения $$n$$ по модулю $$360$$.

1. Если $$1\le n\le 178,$$ то положительных слагаемых больше, чем отрицательных, значит $$S_n>0.$$
2. Если $$180\le n\le 359,$$ то отрицательных слагаемых больше, чем положительных, значит $$S_n<0.$$
3. Если $$n=360k$$ или $$n=360k-181,$$ где $$k\in\mathbb N,$$ то все слагаемые разбиваются на взаимно уничтожающиеся пары, и сумма равна нулю.

Следовательно:

а) $$S_n>0$$ при $$1\le n\le 178;$$

б) $$S_n<0$$ при $$180\le n\le 359;$$

в) $$S_n=0$$ при $$n=360k$$ и $$n=360k-181,\ k\in\mathbb N.$$