Упр.15.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. a) $$\operatorname{tg}1^\circ\cdot\operatorname{tg}2^\circ\cdot\operatorname{tg}3^\circ\cdots\operatorname{tg}89^\circ$$; б) $$\operatorname{ctg}2^\circ\cdot\operatorname{ctg}4^\circ\cdot\operatorname{ctg}6^\circ\cdots\operatorname{ctg}178^\circ$$.

Используем формулы:

$$\tg(90^\circ-a)=\ctg a,$$

$$\ctg(90^\circ-a)=\tg a.$$

а)

$$S=\tg 1^\circ\cdot \tg 2^\circ\cdot \tg 3^\circ\cdots \tg 89^\circ$$

Сгруппируем множители попарно:
$$\tg 1^\circ\cdot \tg 89^\circ=\tg 1^\circ\cdot \ctg 1^\circ=1,$$
$$\tg 2^\circ\cdot \tg 88^\circ=\tg 2^\circ\cdot \ctg 2^\circ=1,$$
и так далее.

Тогда
$$S=1\cdot 1\cdot 1\cdots 1=1.$$

б)

$$S=\ctg 2^\circ\cdot \ctg 4^\circ\cdot \ctg 6^\circ\cdots \ctg 178^\circ$$

В этом произведении есть множитель
$$\ctg 90^\circ=0.$$
Значит, всё произведение равно нулю:
$$S=0.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$0$$.