Упр.14.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
   а) $$y=\sin^2 x+2\sin x-5$$;
   б) $$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x$$;
   в) $$y=4\cos^2 x-4\cos x-2$$;
   г) $$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x$$.

Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

1. $$y=\sin^2 x+2\sin x-5.$$

   Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$ Получаем

   $$y=t^2+2t-5=(t+1)^2-6.$$

   Так как $$-1\le t\le 1,$$ то $$0\le (t+1)^2\le 4.$$ Значит,

   $$-6\le y\le -2.$$

   Наименьшее значение: $$-6,$$ наибольшее значение: $$-2.$$

2. $$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x.$$

   Положим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1,$$ а $$\sin^2 x=1-\cos^2 x=1-t^2.$$ Тогда

   $$y=1-t^2-3t^2+2t=1-4t^2+2t.$$

   Рассмотрим квадратный трёхчлен

   $$y=-4t^2+2t+1=-4\left(t-\frac14\right)^2+\frac54.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac54.$$

   Минимум на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:

   $$y(-1)=-4-2+1=-5,\qquad y(1)=-4+2+1=-1.$$

   Значит, наименьшее значение: $$-5,$$ наибольшее значение: $$\frac54.$$

3. $$y=4\cos^2 x-4\cos x-2.$$

   Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$ Имеем

   $$y=4t^2-4t-2=4\left(t-\frac12\right)^2-3.$$

   Отсюда наименьшее значение равно $$-3.$$

   Наибольшее значение на $$[-1;1]$$ достигается на концах:

   $$y(-1)=4+4-2=6,\qquad y(1)=4-4-2=-2.$$

   Значит, наибольшее значение: $$6.$$

4. $$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x.$$

   Положим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1,$$ а $$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-t^2.$$ Получаем

   $$y=1-t^2-3t^2-4t=1-4t^2-4t.$$

   Преобразуем:

   $$y=-4\left(t+\frac12\right)^2+2.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$2.$$

   Минимум на $$[-1;1]$$ достигается на концах:

   $$y(-1)=1-4+4=1,\qquad y(1)=1-4-4=-7.$$

   Значит, наименьшее значение: $$-7.$$

Ответ: а) $$-6$$ и $$-2$$; б) $$-5$$ и $$\frac54$$; в) $$-3$$ и $$6$$; г) $$-7$$ и $$2$$.