Упр.14.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Используем формулы:
$$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}, \qquad \tg t=\frac{1}{\ctg t}, \qquad \cos t=\ctg t\cdot \sin t.$$
$$\ctg t=\frac{12}{5}, \qquad 3\pi<t<\frac{7\pi}{2}.$$
Значит, угол лежит в третьей четверти, поэтому $$\sin t<0,\ \cos t<0.$$
$$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{144}{25}}=\frac{25}{169},$$
$$\sin t=-\frac{5}{13}.$$$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13},$$
$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{5}{12}.$$$$\ctg t=\frac{7}{24}, \qquad 2\pi<t<\frac{5\pi}{2}.$$
Это первая четверть, значит $$\sin t>0,\ \cos t>0.$$
$$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{49}{576}}=\frac{576}{625},$$
$$\sin t=\frac{24}{25}.$$$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{7}{24}\cdot\frac{24}{25}=\frac{7}{25},$$
$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{24}{7}.$$$$\ctg t=-\frac{5}{12}, \qquad \frac{7\pi}{2}<t<4\pi.$$
Это четвёртая четверть, поэтому $$\sin t<0,\ \cos t>0.$$
$$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{1+\left(\frac{5}{12}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{25}{144}}=\frac{144}{169},$$
$$\sin t=-\frac{12}{13}.$$$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13},$$
$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{12}{5}.$$$$\ctg t=-\frac{8}{15}, \qquad \frac{5\pi}{2}<t<3\pi.$$
Это вторая четверть, значит $$\sin t>0,\ \cos t<0.$$
$$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{1+\left(\frac{8}{15}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{64}{225}}=\frac{225}{289},$$
$$\sin t=\frac{15}{17}.$$$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{8}{15}\cdot\frac{15}{17}=-\frac{8}{17},$$
$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{15}{8}.$$
Ответ:
а) $$\sin t=-\frac{5}{13},\ \cos t=-\frac{12}{13},\ \tg t=\frac{5}{12};$$
б) $$\sin t=\frac{24}{25},\ \cos t=\frac{7}{25},\ \tg t=\frac{24}{7};$$
в) $$\sin t=-\frac{12}{13},\ \cos t=\frac{5}{13},\ \tg t=-\frac{12}{5};$$
г) $$\sin t=\frac{15}{17},\ \cos t=-\frac{8}{17},\ \tg t=-\frac{15}{8}.$$
