Упр.14.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем тождество

$$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}, \qquad \cos^2 t=\frac{1}{1+\tg^2 t}.$$

Знак $$\cos t$$ и $$\sin t$$ определяем по четверти, в которой лежит угол $$t$$.

1. $$\tg t=\frac{3}{4}, \qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

   Точка $$t$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos t>0$$:

   $$\cos t=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{9}{16}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

   Тогда

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{4}{3}.$$

   Ответ: $$\sin t=\frac{3}{5}, \quad \cos t=\frac{4}{5}, \quad \ctg t=\frac{4}{3}.$$

2. $$\tg t=2{,}4=\frac{12}{5}, \qquad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

   Точка $$t$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos t<0$$ и $$\sin t<0$$:

   $$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{144}{25}}}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

   Тогда

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{12}{5}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{5}{12}.$$

   Ответ: $$\sin t=-\frac{12}{13}, \quad \cos t=-\frac{5}{13}, \quad \ctg t=\frac{5}{12}.$$

3. $$\tg t=-\frac{3}{4}, \qquad \frac{\pi}{2}<t<\pi.$$

   Точка $$t$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos t<0$$, а $$\sin t>0$$:

   $$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

   Тогда

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{4}{3}.$$

   Ответ: $$\sin t=\frac{3}{5}, \quad \cos t=-\frac{4}{5}, \quad \ctg t=-\frac{4}{3}.$$

4. $$\tg t=-\frac{1}{3}, \qquad \frac{3\pi}{2}<t<2\pi.$$

   Точка $$t$$ лежит в четвертой четверти, значит $$\cos t>0$$, а $$\sin t<0$$:

   $$\cos t=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

   Тогда

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-3.$$

   Ответ: $$\sin t=-\frac{\sqrt{10}}{10}, \quad \cos t=\frac{3\sqrt{10}}{10}, \quad \ctg t=-3.$$