Упр.14.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ откуда

$$\cos t=\pm\sqrt{1-\sin^2 t}.$$

1. $$\sin t=\frac45,\quad \frac{\pi}{2}<t<\pi.$$

   Точка $$t$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos t<0.$$ Тогда

   $$\cos t=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35.$$

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac45:\left(-\frac35\right)=-\frac43,$$

   $$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac34.$$

2. $$\sin t=\frac{5}{13},\quad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

   Точка $$t$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos t>0.$$ Тогда

   $$\cos t=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{5}{13}:\frac{12}{13}=\frac{5}{12},$$

   $$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{12}{5}.$$

3. $$\sin t=-0{,}6,\quad -\frac{\pi}{2}<t<0.$$

   Точка $$t$$ лежит в четвертой четверти, значит $$\cos t>0.$$ Тогда

   $$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-(-0{,}6)^2}=\sqrt{1-0{,}36}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8.$$

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-0{,}6}{0{,}8}=-\frac34,$$

   $$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac43.$$

4. $$\sin t=-0{,}28,\quad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

   Точка $$t$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos t<0.$$ Тогда

   $$\sin t=-0{,}28=-\frac{7}{25},$$

   $$\cos t=-\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{49}{625}}=-\sqrt{\frac{576}{625}}=-\frac{24}{25}.$$

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-7/25}{-24/25}=\frac{7}{24},$$

   $$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{24}{7}.$$

Ответ: а) $$\cos t=-\frac35,\ \tg t=-\frac43,\ \ctg t=-\frac34;$$ б) $$\cos t=\frac{12}{13},\ \tg t=\frac{5}{12},\ \ctg t=\frac{12}{5};$$ в) $$\cos t=0{,}8,\ \tg t=-\frac34,\ \ctg t=-\frac43;$$ г) $$\cos t=-\frac{24}{25},\ \tg t=\frac{7}{24},\ \ctg t=\frac{24}{7}.$$