Упр.13.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$x^4-4x^3+4x^2+\cos^2\left(\frac{3\pi x}{4}\right)=0$$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$x^4-4x^3+4x^2+\cos^2\frac{3\pi x}{4}=0$$

$$x^2(x^2-4x+4)+\cos^2\frac{3\pi x}{4}=0$$

$$x^2(x-2)^2+\cos^2\frac{3\pi x}{4}=0.$$

Оба слагаемых неотрицательны при любых $$x$$:

$$x^2(x-2)^2\ge 0,\qquad \cos^2\frac{3\pi x}{4}\ge 0.$$

Сумма равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

$$\begin{cases} x^2(x-2)^2=0,\\ \cos^2\frac{3\pi x}{4}=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=2.$$

Проверим эти значения во втором уравнении:

$$\cos^2\frac{3\pi\cdot 0}{4}=\cos^2 0=1\ne 0,$$

$$\cos^2\frac{3\pi\cdot 2}{4}=\cos^2\frac{3\pi}{2}=0.$$

Подходит только $$x=2$$.

Ответ

$$x=2.$$