Упр.13.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$\sin t < \tan t$$, если $$0 < t < \frac{\pi}{2}$$;
   б) $$\cos t < \cot t$$, если $$0 < t < \frac{\pi}{2}$$.

На промежутке $$0<t<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\sin t>0$$ и $$\cos t>0$$.

а)

Докажем, что $$\sin t<\tg t.$$

Преобразуем разность:

$$\tg t-\sin t=\frac{\sin t}{\cos t}-\sin t=\sin t\left(\frac{1}{\cos t}-1\right)=\sin t\cdot\frac{1-\cos t}{\cos t}.$$

Так как $$\sin t>0,$$ $$\cos t>0,$$ а также $$1-\cos t>0,$$ то

$$\tg t-\sin t>0.$$

Следовательно, $$\sin t<\tg t.$$

б)

Докажем, что $$\cos t<\ctg t.$$

Преобразуем разность:

$$\ctg t-\cos t=\frac{\cos t}{\sin t}-\cos t=\cos t\left(\frac{1}{\sin t}-1\right)=\cos t\cdot\frac{1-\sin t}{\sin t}.$$

Так как $$\cos t>0,$$ $$\sin t>0,$$ а также $$1-\sin t>0,$$ то

$$\ctg t-\cos t>0.$$

Следовательно, $$\cos t<\ctg t.$$

Ответ: $$\sin t<\tg t,$$ $$\cos t<\ctg t$$ при $$0<t<\frac{\pi}{2}.$$