Упр.13.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{\sin^2 1+\sin^2 2-2\sin 1\cdot \sin 2}+\sqrt{\frac14-\sin 1+\sin^2 1}+\sqrt{1+\sin^2 2-2\sin 2}$$

$$=\sqrt{(\sin 1-\sin 2)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\sin 1\right)^2}+\sqrt{(1-\sin 2)^2}$$

$$=|\sin 1-\sin 2|+\left|\frac12-\sin 1\right|+|1-\sin 2|.$$

Так как $$\frac12=\sin\frac{\pi}{6}\approx \sin 0{,}52,$$ то $$0{,}52<1<\frac{\pi}{2},$$ значит $$\sin 1>\frac12.$$

Кроме того, $$1<2<\frac{\pi}{2},$$ поэтому $$\sin 1<\sin 2<1.$$

Тогда

$$|\sin 1-\sin 2|=\sin 2-\sin 1,\qquad \left|\frac12-\sin 1\right|=\sin 1-\frac12,\qquad |1-\sin 2|=1-\sin 2.$$

Следовательно,

$$\sin 2-\sin 1+\sin 1-\frac12+1-\sin 2=\frac12.$$

б) $$\sqrt{\cos^2 6+\cos^2 7-2\cos 6\cdot \cos 7}+\sqrt{\frac14-\cos 7+\cos^2 7}+\sqrt{1+\cos^2 6-2\cos 6}$$

$$=\sqrt{(\cos 6-\cos 7)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\cos 7\right)^2}+\sqrt{(1-\cos 6)^2}$$

$$=|\cos 6-\cos 7|+\left|\frac12-\cos 7\right|+|1-\cos 6|.$$

Поскольку $$7-2\pi\approx 0{,}72,$$ то $$\cos 7=\cos(7-2\pi)\approx \cos 0{,}72,$$ а также $$\frac12=\cos\frac{\pi}{3}\approx \cos 1{,}04.$$

Числа $$0{,}72$$ и $$1{,}04$$ принадлежат I четверти, значит $$\cos 7>\frac12.$$

Кроме того, $$\frac{3\pi}{2}<6<2\pi,$$ поэтому $$\cos 6>0,$$ и так как $$6\approx 2\pi-0{,}28,$$ то $$\cos 6>\cos 7>\frac12.$$

Тогда

$$|\cos 6-\cos 7|=\cos 6-\cos 7,\qquad \left|\frac12-\cos 7\right|=\cos 7-\frac12,\qquad |1-\cos 6|=1-\cos 6.$$

Следовательно,

$$\cos 6-\cos 7+\cos 7-\frac12+1-\cos 6=\frac12.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$.