Упр.11.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Так как радиусы $$OA$$ и $$OC$$ равны, а серединные перпендикуляры $$MN$$ и $$PQ$$ проходят через середины этих радиусов, то точки $$M$$ и $$N$$ лежат на окружности, а $$OM \perp MN$$. Рассмотрим треугольник $$AOM$$:

$$OA=OM=AM=R=1,$$

значит, $$\triangle AOM$$ равносторонний, поэтому

$$\angle AOM=60^\circ.$$

Тогда

$$MM_1=\sqrt{OM^2-OM_1^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Аналогично для остальных соответствующих треугольников получаем:

$$\angle COP=\angle COQ=\angle AON=60^\circ,$$

$$PP_1=P_1Q=M_1N=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда длина хорды $$MN$$ равна

$$MN=MM_1+M_1N=2MM_1=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Длины дуг:

$$AM=PC=CQ=NA=60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3},$$

$$MP=AC-AM-PC=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3},$$

$$QN=CA-CQ-NA=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.$$

Следовательно, точки $$A, M, P, C, Q, N$$ делят окружность на 6 равных частей, каждая из которых имеет длину $$\frac{\pi}{3}$$.

б) Аналогично, для радиусов $$OB$$ и $$OD$$ и серединных перпендикуляров $$LK$$ и $$TS$$:

$$OB=OK=KB=R=1,$$

значит, $$\triangle KOB$$ равносторонний, поэтому

$$\angle KOB=60^\circ.$$

Тогда

$$KK_1=\sqrt{OK^2-OK_1^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$KL=KK_1+K_1L=2KK_1=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Длины дуг:

$$BK=SD=DT=LB=60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3},$$

$$KS=BD-BK-SD=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3},$$

$$TL=DB-DT-LB=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.$$

Значит, точки $$K, B, L, T, D, S$$ делят окружность на 6 равных частей, каждая длиной $$\frac{\pi}{3}$$.

Ответ

а) $$\angle AOM=60^\circ,\ MN=\sqrt3,\ QN=\frac{\pi}{3}.$$

б) $$\angle KOB=60^\circ,\ KL=\sqrt3,\ TL=\frac{\pi}{3}.$$