Упр.10.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ — некоторые взаимно-обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения: а) $$f(x)=x$$ и $$g(x)=x$$; б) $$f(g(x))=x$$ и $$g(f(x))=x$$?

Пусть $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ — взаимно обратные функции.

1. Уравнения $$f(x)=x$$ и $$g(x)=x$$ равносильны.

   Действительно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $$y=x$$, поэтому точки их пересечения с этой прямой совпадают. Значит, множества решений уравнений одинаковы.

2. Уравнения $$f(g(x))=x$$ и $$g(f(x))=x$$ в общем случае не равносильны.

   Покажем это на примере. Пусть

   $$f(x)=\sqrt{x-2}, \qquad g(x)=x^2+2.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=\sqrt{(x^2+2)-2}=\sqrt{x^2}=|x|,$$

   и уравнение $$f(g(x))=x$$ принимает вид

   $$|x|=x,$$

   откуда $$x\ge 0$$.

   С другой стороны,

   $$g(f(x))=(\sqrt{x-2})^2+2=x,$$

   но это верно только при $$x\ge 2$$, так как $$f(x)$$ определена лишь при $$x\ge 2$$.

   Следовательно, множества решений различны, и уравнения неравносильны.

Ответ: а) да; б) нет.