Упр.1.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Если $$a+b$$ делится на $$c$$, а $$a-b$$ не делится на $$c$$, то ни $$a$$, ни $$b$$ не делятся на $$c$$;
   б) $$ad+bc+ac+bd$$ делится на $$a+b$$;
   в) Если $$ad+bc$$ делится на $$a+b$$, то и $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$;
   г) Если $$ad+bc$$ не делится на $$a+b$$, то и $$ac+bd$$ не делится на $$a+b$$.

а) Пусть $$a+b$$ делится на $$c$$, а $$a-b$$ не делится на $$c$$. Докажем, что тогда ни $$a$$, ни $$b$$ не делятся на $$c$$.

Предположим противное: пусть $$a$$ делится на $$c$$. Тогда $$a=ck$$, где $$k\in \mathbb{N}$$. Так как $$a+b$$ делится на $$c$$, то $$a+b=cm$$, где $$m\in \mathbb{N}$$. Тогда

$$b=(a+b)-a=cm-ck=c(m-k),$$

то есть $$b$$ тоже делится на $$c$$. Но тогда

$$a-b=ck-c(m-k)=c(2k-m),$$

и $$a-b$$ делится на $$c$$, что противоречит условию. Значит, $$a \not\vdots c$$ и $$b \not\vdots c$$.

б) Имеем

$$ad+bc+ac+bd=a(d+c)+b(c+d)=(a+b)(c+d).$$

Следовательно, $$ad+bc+ac+bd$$ делится на $$a+b$$.

в) Пусть $$ad+bc$$ делится на $$a+b$$. Докажем, что тогда и $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$.

Заметим, что

$$ac+bd=(ad+bc)+(ac+bd-ad-bc)=(ad+bc)+(a-b)(c-d).$$

Удобнее записать так:

$$ac+bd=(a+b)(c+d)-(ad+bc).$$

Так как по условию $$ad+bc$$ делится на $$a+b$$, а $$(a+b)(c+d)$$ тоже делится на $$a+b$$, то их разность $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$.

г) Пусть $$ad+bc$$ не делится на $$a+b$$. Докажем, что тогда и $$ac+bd$$ не делится на $$a+b$$.

Предположим противное: пусть $$ac+bd$$ делится на $$a+b$$. Тогда из равенства

$$ad+bc=(a+b)(c+d)-(ac+bd)$$

следует, что $$ad+bc$$ тоже делится на $$a+b$$, что противоречит условию. Значит, $$ac+bd$$ не делится на $$a+b$$.